Теорема Чевы формулирует условие, при котором три произвольные чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке, то есть конкурентны.Формулировка:
Три чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке тогда, и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:
Для доказательства нам потребуются следующие теоретические факты:
- Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точной на стороне, противоположной этой вершине
- Площади треугольников с равными высотами относятся как основания, к которым эти высоты проведены
- Конкурентные прямые - такие прямые, которые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Таким образом, будем доказывать, что чевианы конкурентны
- "Тогда и только тогда" - выражение, обозначающее принцип необходимости и достаточности. Доказательство подразделяется на две части, сначала доказываем необходимость условия, а затем достаточность.
Доказательство:
1. Необходимость.
Треугольники АСС' и ВСС', а также пара треугольников АМС' и BMC' попарно имеют общие высоты. При этом пары треугольников АСС' и АМС', ВСС' и BMC' попарно имеют равные основания, следовательно:
Воспользовались свойством пропорций: 
Аналогичным образом составляем соотношения для других треугольников внутри АВС:
Теперь перемножим левые и правые части равенств (1), (2) и (3), получим:
что и требовалось доказать.
2. Достаточность.
Покажем, что выполнение исходного равенства достаточно, чтобы чевианы были конкурентны. Доказательство будем строить "от противного".Предположим, что выполняется исходное равенство (1), но чевианы при этом не пересекаются в одной точке. Чевиана АА' не проходит через точку О пересечения чевиан BB' и CC'. В таком случае можно найти другую чевиану AA'', которая будет проходить через точку О. И для трёх конкурентных чевиан можно будет составить новое тождество:
Приравняв левые части тождеств (1) и (5), получим: 
Из чего следует, что точки A' и A'' совпадают, а значит чевиана AA' совпадает с чевиантой AA'', то есть чевианы AA', BB', CC" конкурентны, что и требовалось доказать.
